Funzione di Utilità di x e y pari a x elevato a 1/2 e la y elevata a 1/3. Questa è la seconda delle quattro funzioni che sono esaminate in questa serie di spunti a vantaggio degli studiosi.

Lo sviluppo è indicato in 2 pagine d’appunti qui allegate.

Come al solito si scrive Utilità, ma si sviluppa come SMS (saggio marginale di sostituzione)

S’osservi nella prima pagina come, impostato il rapporto tra rapporti, subito in seconda scrittura siano calcolate le derivate di x a numeratore e di y a denominatore. Infatti abbiamo 1/2 – 1 per le x e 1/3 – 1 per la y.

Fin qui non dovrebbero esserci problemi.

Sempre in pagina uno s’osservi (dipinto in giallo) come si sviluppa il numeratore. Quel 1/2 diventa 0,5 e l’elevazione a potenza della x deriva dallo 0,5 – 1 = – 0,5 mentre la y resta elevata a 1/3 ovvero 0,33

Di proseguo nella pagina 1, però in colore verde come evidenziato, si risolve il denominatore. Qui si lavora sulla y che è elevato a 0,33 -1 = – 0,67

Ed ecco che a conclusione della prima pagina, raggruppato in parentesi graffa c’è un passaggio ostico riconducibile al conetto di OPERAZIONI D’ELISIONE DELL’INCOGNITA.

Vuol dire l’eliminazione del denominatore della prima frazione e della seconda in base alle proprietà delle potenze.

Per far ciò si devono sottrarre gli esponenti dell’incognita congrua (la x con la x e così con la y). Quindi allo 0,5 x elevato a -0,5 del numeratore va sottratto lo 0,5 della x del denominatore. Grazie a questa operazione s’elimina quell’x elevato allo 0,5 del denominatore della prima frazione.

Si noti come questa eliminazione è indicata con una croce in penna sulla x del denominatore (area gialla nella graffa). Occhio però! Il meno 0,5 a cui sottrarre nuovamente lo 0,5, vuol dire ottenere un -1.

-1 è l’elevazione a potenza della x “superstite”.

Analoga operazione per la y (in verde nell’area sotto graffa in finale di pagina 1)

Nella pagina 2 proseguono le procedure d’elisione fino alla quantificazione del SMS.

fine del caso 2.